Кто на сайте
Сейчас 24 гостей онлайн
Вход на сайт
Новости
Метод Ньютона
Опубликовано: 16.10.2017
Как запоминать прочитанное? Метод Ньютона Метод Ньютона , алгоритм Ньютона (также известный как метод касательных ) — это итерационный численный метод нахождения корня (нуля) заданной функции. Метод был впервые предложен английским физиком, математиком и астрономом Исааком Ньютоном (1643—1727). Поиск решения осуществляется путём построения последовательных приближений и основан на принципах простой итерации. Метод обладает квадратичной сходимостью. Улучшением метода является метод хорд и касательных. Также метод Ньютона может быть использован для решения задач оптимизации, в которых требуется определить нуль первой производной либо градиента в случае многомерного пространства.
Содержание1 Описание метода 1.1 Обоснование 1.2 Геометрическая интерпретация 1.3 Алгоритм 1.4 Пример 2 Условия применения 2.1 Контрпримеры 2.2 Ограничения 3 Историческая справка 4 Обобщения и модификации 4.1 Метод секущих 4.2 Метод одной касательной 4.3 Многомерный случай 4.4 Применительно к задачам оптимизации 4.5 Метод Ньютона — Рафсона 4.6 Применительно к задачам о наименьших квадратах 4.7 Метод Гаусса — Ньютона 4.8 Обобщение на комплексную плоскость 5 Реализация 5.1 Python 5.2 PHP 5.3 Octave 5.4 С/C++ 5.5 С/C++ 6 Литература 7 Примечания 8 См. также 9 Ссылки |
Описание метода
Обоснование
Чтобы численно решить уравнение методом простой итерации, его необходимо привести к следующей форме: , где — сжимающее отображение.
Для наилучшей сходимости метода в точке очередного приближения должно выполняться условие . Решение данного уравнения ищут в виде , тогда:
В предположении, что точка приближения «достаточно близка» к корню , и что заданная функция непрерывна , окончательная формула для такова:
Метод касательных